Introdução à Lógica Fuzzy e Funções de Agregação

Prof. Dr. Benjamín Callejas Bedregal (UFRN)

http://lattes.cnpq.br/4601263005352005

RESUMO

 A teoria dos conjuntos fuzzy (difusos) surge em 1965 com o trabalho de Lotfi Asker Zadeh que propõe relaxar a teoria usual de conjuntos por considerar infinitos níveis ou graus de pertinência de um elemento ao conjunto, incluindo na teoria de conjuntos as incertezas e vaguezas que se têm na hora de se definir um conjunto e que, portanto, permitem lidar com as imprecisões, ignorâncias e vaguezas presentes em problemas do mundo real. Assim, a lógica fuzzy, isto é a lógica associada a essa teoria, modela a incerteza e a inexatidão do conhecimento e raciocínio humano mais adequadamente do que a lógica clássica. Lógica fuzzy, portanto é um formalismo adequado para modelar a capacidade humana de raciocínio aproximado e apoio à tomada de decisão em ambientes onde há informações imperfeitas, permitindo a realização de uma vasta variedade de tarefas físicas e mentais sem qualquer medida nem computação. Esta capacidade tem feito com que a lógica fuzzy tenha sido aplicada com grande sucesso em diversas áreas da computação, como por exemplo: sistemas multi-agentes, soft-computing, aprendizagem de máquinas e descoberta de conhecimento, processamento de informação, sistemas de controle, computação granular e processamento de linguagem natural; assim como, em áreas como economia, medicina, engenharia, estatística e agricultura.

Por outro lado, o processo de combinar diversos valores numéricos num único valor que de alguma forma represente todos eles é chamado de agregação e a função numérica que realiza este processo é denominada de função de agregação. Esta definição simples e informal deixa em evidência que funções de agregação têm um grande potencial de aplicações em diversas áreas de conhecimento, e em particular em saúde. Quando esses valores são graus de pertinência ou valores verdades num contexto fuzzy (ou de alguma de suas extensões) essas funções de agregação têm que obedecer certas propriedades. Se consideramos que cada um dos graus de pertinências a serem agregados são resultados da opinião de diversos especialistas ou da aplicação de diversos métodos, então quando esse graus são todos zeros (todos têm certeza de que não satisfaz determinado critério ou propriedade) ou todos uns (todos têm certeza de que determinado critério ou propriedade é satisfeito) , o resultado da agregação também deve ser zero ou um, respetivamente e além disso quanto maiores os graus de pertinência, maior deve ser o resultado da agregação. Outras condições também podem ser impostas em determinadas circunstâncias, como por exemplo que seja comutativa, idempotente, associativa, etc.

Neste minicurso apresentamos uma breve introdução sobre esta teoria, considerando as noções e operações básicas de conjuntos fuzzy, assim como elementos matemáticos da lógica fuzzy, enquanto uma família de lógicas formais, e mostramos como pode ser aplicada esta teoria para desenvolver sistemas que modelem o raciocínio aproximado. Em seguida, veremos a noção de  funções de agregação, suas principais classes e um exemplo  de aplicação em tomada de decisão.

Introdução à Lógica Algébrica

Prof. Dr. Umberto Rivieccio (UFRN)

http://lattes.cnpq.br/0597230560325577

RESUMO

A lógica algébrica pode ser descrita, em termos gerais, como o estudo das relações entre álgebra e lógica. Uma das razões principais que motivam esse estudo é a possibilidade de tratar problemas lógicos através de métodos algébricos. Isto significa que, para resolvermos um problema lógico, podemos traduzi-lo em termos algébricos, procurar a solução usando técnicas algébricas, e então traduzir de volta o resultado na lógica. Essa estratégia se tem demonstrado profícua porque a álgebra é uma área antiga e consolidada da matemática, que oferece poderosas ferramentas para tratarmos problemas que seriam possivelmente muito mais difíceis de resolver usando apenas técnicas lógicas.

Um famoso resultado obtido nessa maneira é o teorema de completude de Chang para a lógica infinito-valorada de J. Łukasiewicz, que aproveita a relação entre a semântica real-valorada da lógica de Łukasiewicz e os grupos com ordem reticular, que são estruturas bem conhecidas na álgebra abstrata. A ponte entre álgebra e lógica pode ser explorada também na direção oposta, usando métodos lógicos para resolver problemas algébricos; essa estratégia, porém, tem sido aplicada mais raramente e só em anos recentes, graças aos últimos avanços da lógica algébrica.

Em geral, um dos objetivos principais da lógica algébrica é descobrir e descrever a conexão entre diferentes sistemas lógicos e as correspondentes classes de álgebras. Esse estudo levou à formulação de resultados gerais que são conhecidos como “bridge theorems”, que estabelecem que uma lógica possui certa propriedade se e somente se a classe de álgebras associada possui alguma determinada propriedade (ou a versão algébrica da mesma propriedade).

Num nível mais abstrato, outro objetivo é explicar a natureza dessas conexões. Podemos nos perguntar, por exemplo, por que a relação de alguns sistemas lógicos com as correspondentes álgebras é muito forte, enquanto para outros sistemas é muito mais fraca. Outro problema fundamental é especificar em qual sentido podemos afirmar que certa classe de álgebras “corresponde” a um sistema lógico dado.

Nas últimas décadas, este tipo de questões mais abstratas levou os pesquisadores a focar no próprio processo de algebrização, a saber, o processo que nos permite associar certa classe de álgebras a um particular sistema lógico. Esse tópico compõe hoje o núcleo de uma sub-área da lógica algébrica chamada Lógica Algébrica Abstrata.